Wahrscheinlichkeiten

Scherge · Händler Anmeldedatum: 25.09.2001 Beiträge: 154 Wohnort: Dresden

Hallo Leute,

ich habe heute abend mal ein bisschen gerechnet. Ich wollte wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine Stadt zu erwürfeln, und in welchen Fällen man z.B. Gold lieber behält oder nochmal würfelt. Dabei ergaben sich einige sehr überraschende Ergebnisse. Ich habe meine Rechnungen nochmal überprüft und bin mir inzwischen sicher, dass sie so im Wesentlichen stimmt.

Voraussetzungen:

Der Spieler versucht, um jeden Preis eine Stadt zu bekommen, und lässt sich nicht von der Möglichkeit, etwas anderes zu bauen, ablenken. Das ist natürlich etwas theoretisch, insbesondere im Spiel gegeneinander am Tisch. Bei der Highscorejagd auf playcatan kommt das schon eher mal vor: Wenn man da vorne landen will, muss man auf jeden Fall 4 Städte bauen, und wenn da im letzten Zug noch eine fehlt, hilft einem auch die eventuelle 4. Siedlung nicht weiter.
Die Würfel sind ideal.
Kein Ritter wird eingesetzt.
Der Goldtausch wird berücksichtigt.

E=Erz, G=Getreide, Au=Aurum (Gold

)

Die Wahrscheinlichkeit, mit drei Würfen eine Stadt zu bekommen, beträgt dann 22474831837088/101559956668416 = 22.13%, also etwa 2/9.

Sofort beim ersten Wurf eine Stadt bekommt man in 0.91% der Fälle, also immerhin alle 110 Runden. Dumm gelaufen, wenn man dann gerade keinen Bauplatz erschlossen hat

.

Nach dem ersten Wurf sollte man:

Ein einzelnes Gold nie behalten! Das blockiert nur Varianten, die man mit diesem Würfel hätte. Lediglich bei den Kombinationen (das soll heißen: Diese Würfel werden zurückgelegt) 2E+2G+1Au (Chance auf Stadt = 5/9 = 56%) und 2E+1G+1Au (29/72 = 40%) ist es egal. Ansonsten ergeben sich dann absolute Differenzen von ungefähr 1-2%, also z.B. statt 25.5% (3E) nur 23.8% (3E+1Au)
Auch ein Goldpaar sollte man nur genau dann behalten, wenn noch mindestens 1E+1G oder 2E dabei sind. Das gilt in der Praxis allerdings wohl eher selten, da man mit dem Gold gut eine Siedlung oder wenigstens einen Ritter bauen kann, sollte die Stadt nicht klappen.
Das für mich Überraschendste: Es ist schlecht, sich nach dem ersten Mal Würfeln zwei Getreide zu behalten, wenn nicht noch mindestens ein Erz dabei ist. Die Differenz ist zwar minimal (10.77% versus 10.56% Wahrscheinlichkeit, die Stadt zu schaffen), aber immerhin da. Und da man das zweite Getreide auch nicht für eventuelle andere Unternehmungen nutzen kann (es sei denn man will zwei Ritter bauen, was aber sehr schwierig ist), kann man die Regel festhalten: Nach dem ersten Wurf niemals zwei Getreide behalten, ohne dass ein Erz dabei ist!
Ansonsten natürlich Erz und Getreide beiseite legen, wie man es eben bekommt.

Im besten Fall (2E+2G oder 3E+1G, was immerhin in 6.9% der Fälle kommt) hat man jetzt 5/9=55.6% Wahrscheinlichkeit, die Stadt zu schaffen, das ist immer noch nicht gerade sicher.
Insgesamt kann man in 8.3% der Fälle eine Stadt in zwei Würfen erreichen, also etwa jede 12. Runde. Natürlich nur, wenn man es drauf anlegt, also strikt nach den obigen Regeln zurücklegt.

Nach dem zweiten Wurf muss man dann so spielen:

Ein einzelnes Gold zurückzulegen, ist auch jetzt Unsinn. In einigen Fällen ist es egal (2E+2G, 3E+1G, 2E+1G), ansonsten gibt es Differenzen von zugegebenermaßen gerade mal max. 0.5%.
Ein Goldpaar sollte man jetzt, wenn vorhanden, immer beiseite legen, es sei denn man hat weder Getreide noch Erz dabei; dann kann man es angesichts der mickrigen 0.91%-Chance auch fast gleich lassen.
Diesmal sollte man auch ein zweites Getreide beiseite legen, selbst wenn man kein Erz dazu hat.

Also im Prinzip alles normal.

In 22.1% der Fälle ist man dann nach dem dritten Wurf erfolgreich.

Die Zahlen im Einzelnen (Brüche sind exakt, Prozente i.A. gerundet):
Vor dem ersten Wurf
Chance 22474831837088/6^18 = 22.1%
Vor dem zweiten Wurf (Zurückgelegt -> Chance auf die Stadt)
3E+2G / 2E+2G+2Au, 3E+1G+2Au -> 100%
2E+2G(+1Au) / 3E+1G(+1Au) / 2E+1G+2Au -> 5/9 = 55.6%
2E+1G(+1Au) -> 29/72 = 40.3%
3E+2Au / 1E+2G+2Au -> 11/36 = 30.6%
3E / 1E+2G -> 2971/11664 = 25.5%
3E+1Au / 1E+2G+1Au -> 463/1944 = 23.8%
2E+2Au / 1E+1G+2Au -> 17/72 = 23.6%
2E / 1E+1G -> 62873/279936 = 22.5%
2E+1Au / 1E+1G+1Au -> 3295/15552 = 21.2%
1E -> 41719/279936 = 14.9%
1E+1Au -> 18799/139968 = 13.4%
1E+2Au -> 253/1944 = 13.0%
1G -> 180893/1679616 = 10.8%
2G -> 14783/139968 = 10.6%
2G+2Au -> 121/1296 = 9.3%
1G+1Au -> 102863/1119744 = 9.2%
1G+2Au -> 2093/23328 = 9.0%
2G+1Au -> 3961/46656 = 8.5%
nichts -> 45022919/544195584 = 8,3%
1Au -> 12762853/181398528 = 7.0%
2Au -> 229847/3779136 = 6.1%

Vor dem dritten Wurf
3E+2G / 2E+2G+2Au, 3E+1G+2Au -> 100%
3E+1G(+1Au) / 2E+2G(+1Au) / 2E+1G+2Au -> 1/3 = 33.3%
3E+2Au / 1E+2G+2Au / 2E+1G -> 1/6 = 16.7%
3E / 1E+2G -> 19/216 = 8.8%
3E+1Au / 1E+2G+2Au / 2E+2Au / 1E+1G+2Au -> 1/12 = 8.3%
2E / 1E+1G -> 19/324 = 5.9%
2E+1Au / 1E+1G+1Au -> 1/18 = 5.6%
1E+2Au / 2G+2Au -> 1/36 = 2.8%
1E -> 25/972 = 2.6%
1E+1Au -> 5/216 = 2.3%
2G -> 1/48 = 2.1%
2G+1Au / 1G+2Au -> 1/54 = 1.9%
1G -> 5/288 = 1.7%
1G+1Au -> 5/324 = 1.5%
nichts -> 425/46656 = 0.9%
1Au / 2Au -> 0.8%

Berechnet hab ich das ziemlich brute-force mit systematischem "Durchzählen" der Kombinationen. Ich bin sicher, das geht auch mathematische eleganter, und bevor ich irgendwann noch andere Fälle betrachte, versuche ich das zu abstrahieren. Mal sehen.

Gruß, Scherge

Safari · Baumeister Anmeldedatum: 09.10.2006 Beiträge: 323 Wohnort: Salzburg

Hübsch kenne mich beim letzten Abschnitt zwar nicht aus aber der erste ist sehr hilfreich. Danke!

Mein Kompliment hätte das nicht so ausrechnen können!

Scherge · Händler Anmeldedatum: 25.09.2001 Beiträge: 154 Wohnort: Dresden

Naja, du musst sicher etwas vorsichtig damit sein, die Regeln da rigoros anzuwenden. Dadurch verbaust du dir nämlich vielleicht wiederum die Möglichkeit, statt einer Stadt vielleicht wenigstens noch eine Siedlung oder einen Ritter zu bauen. Ich hatte erst vorhin ein Spiel, in dem ich dreimal nacheinander versucht hab, noch eine Stadt zu bauen. Beim ersten Mal hats gerade noch mit der Siedlung geklappt, beim zweiten und dritten Versuch gabs dann nur noch das Kreuzchen. 53 Punkte. Pech natürlich, aber ich hatte es halt auf die Städte angelegt.

Safari · Baumeister Anmeldedatum: 09.10.2006 Beiträge: 323 Wohnort: Salzburg

Naja mir ist das auch schon ein paar mal passiert.

So strikt werde ich die Reglen eh nicht anwenden.

xaverius

Safari · Baumeister Anmeldedatum: 09.10.2006 Beiträge: 323 Wohnort: Salzburg

Hoffen wirs, mein Rekord liegt bei läppischen 75 Punkten!!!

Marc · Webmaster Anmeldedatum: 03.05.2001 Beiträge: 2745 Wohnort: Hamburg

Mehr habe ich auch noch nicht erzielt.

Safari · Baumeister Anmeldedatum: 09.10.2006 Beiträge: 323 Wohnort: Salzburg

Da bin ich aber froh, ich dachte schon ich wäre ein schlechter Würfelsiedler, aber ich glaube 60 Punkte sind so der Durchschnitt.

pi8ch

Ok - dann bin ich ja beruhigt. Nach 4 Spielen war mein bestes Ergebnis 74. (oder 75? - egal) - 2 mal hatte ich so um die 55 oder 57, und einmal 47.