Rätsel für Stochastiker

ErzEngel · Moderator Anmeldedatum: 03.06.2001 Beiträge: 2794 Wohnort: Nähe Altötting

Hi, ich habe ein Rätsel, auf das ich allerdings selber die Antwort suche und daher NICHT weiß.

Das Problem ist Folgendes:

Man hat 21 Plättchen mit Zahlen drauf zur Verfügung:
1 x "1", 2 x "2", 3 x "3", 4 x "4", 5 x "5", 6 x "6"

Die Plättchen mit jeweils gleichen Zahlen sind nicht unterscheidbar. Desweiteren werden jeweils 6 Plättchen im Kreis zusammengelegt, so dass mehrere Versionen durch die Rotationssymmetrie wegfallen.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es nun, eine Kombination von 6 Zahlen zusammenzulegen? Am Liebsten wäre mir, wenn jemand die analytische Formel parat hätte, wie man sowas ausrechnet und nicht einfach nur ne numerische Zählung.

Ich bin auf die Lösungen gespannt.

Rhus van Heesen · Kämmerer Anmeldedatum: 10.08.2001 Beiträge: 516 Wohnort: Herdecke/Berlin

Ich gehe davon aus, daß die Reihenfolge egal ist.

Dann gibt es EINE mögliche Kombination, in der 6x die sechs vorkommt (6/6/6/6/6/6)

FÜNF Kombinationen, in denen 5x die sechs vorkommt (6/6.../6/5;6...4;6...3;6...2;6...1)

VIERZEHN Kombinationen, in denen 4x die sechs vorkommt (nicht fünfzehn, weil es 6/6/6/6/1/1 nicht geben kann...)

müßte man so weiterführen können, oder? vielleicht mach ichs nachher mal...

schönen gruß,
rhus

ErzEngel · Moderator Anmeldedatum: 03.06.2001 Beiträge: 2794 Wohnort: Nähe Altötting

Ach ja, was ich vergessen hab zu erwähnen:

Am liebsten wäre mir eine arithmetische Lösung, also nicht einfach nur die Möglichkeiten zählen, die es gibt, sondern das Ganze formeltechnisch herleitbar machen.

Die Reihenfolge ist übrigens NICHT egal, sonst hätte ich das dazugeschrieben.

Also die Kombinationen: 665656 und 665665 sind verschiedene

MarkusProject · Moderator Anmeldedatum: 31.05.2001 Beiträge: 2033 Wohnort: Hannover / Schwerin

Habe ich schon mal erwähnt, dass ich Stochastik hasse?

Nichtsdestotrotz muss ich ja bald Abi darin schreiben, also ein kurzer Blick ins Tafelwerk:

Es liegt eine Variation vor, weil k (hier 6) aus n (hier 21) Elementen ausgewählt werden sollen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen. Die Anzahl der Variationen lautet demzufolge:

V(n;k) = n! / (n-k)! = (n über k) * k!
(Fakultäten und Binomialkoeffizenten kennst du sicher.)

Durch die Rotationssymmetrie müsste man das ganze noch durch 6 dividieren.

Als Ergebnis zeigt mein Taschenrechner 6.511.680 an. Ich hoffe, das stimmt, werde das Problem aber morgen mal meinem Mathe LK zur Disposition stellen!

ErzEngel · Moderator Anmeldedatum: 03.06.2001 Beiträge: 2794 Wohnort: Nähe Altötting

Also das mit dem "durch 6 teilen" hab ich auch am Anfang gedacht, aber das hat sich sehr schnell als falsch erwiesen.

Als kleines Beispiel dagegen sei nur die Kreisanordnung: 6-5-6-5-6-5 zu nennen. Diese wiederholt sich schon beim 2. mal Drehen, wodurch es also insgesamt nicht 6, sondern nur 2 verschiedene Anordnungen gibt, die überhaupt berücksichtigt werden.

Aber nen Mathe-LK fragen ist mMn eine sehr gute Idee. Dann könnt ihr quasi als Abi-Vorbereitung mal meine Probleme lösen.

P.S.: Ich hasse Stochastik eigentlich auch, allerdings hat mir Kombinatorik bisher immer Spaß gemacht.

Rhus van Heesen · Kämmerer Anmeldedatum: 10.08.2001 Beiträge: 516 Wohnort: Herdecke/Berlin

Markus, was bedeutet "n über k"? Kommt mir irgendwie bekannt vor, aber Mathe-LK ist jetzt auch schon ein paar Jahre her...

schönen gruß,
rhus

ErzEngel · Moderator Anmeldedatum: 03.06.2001 Beiträge: 2794 Wohnort: Nähe Altötting

(n über k) ist der mathematisch korrekte Ausdruck für das in der Schule oft verwendete (k aus n).

Denn das Lotto-System heißt zwar (6 aus 49), aber wenn du es mathematisch berechnen willst, verwendest du die Rechnung (49 über 6).

HTH

MarkusProject · Moderator Anmeldedatum: 31.05.2001 Beiträge: 2033 Wohnort: Hannover / Schwerin

Richtig, (n über k) oder (auf Taschenrechnern) n nCr k ist der sog. Binoialkoeffizient. Es gilt (n über k) = n! / (k! * (n - k)!)

Ich bin mir auch nicht ganz sicher, ob in meiner Lösung berücksichtigt ist, dass wir ja 6 Sechserplättchen haben usw. Aber morgen ist Doppelstunde Mathe, da werde ich sicher Zeit finden...

PS: Kombinatorik ist in der Tat der Teil der Stochastik, der noch am meisten Spaß macht. Aber Fehler kann man trotzdem sooo schnell machen...

MarkusProject · Moderator Anmeldedatum: 31.05.2001 Beiträge: 2033 Wohnort: Hannover / Schwerin

Heute habe ich es endlich geschafft, die Problematik meiner Lehrerin vorzustellen. Dass sie auch stutze und meinen Zettel mitnehmen wollte, sagt mir, dass es nicht an mangelnden Fähigkeiten liegt, dass die Aufgabe nicht mit einem Fingerschnippen zu lösen ist...

Naja, morgen ist jedenfalls erst einmal Klausur...